相关文章：汪敏，张雄，陆明万，刘岩. Effect of defects on resonance of carbon nanotubes as mass sensors，Applied Physics Letters，88, 113513, 2006.

采用薄膜-扭簧模型分析了单壁纳米管作为质量感应器时的振动特性，发现与梁理论结果非常吻合；根据带有颈缩状体缺陷或附有颗粒状残留物的纳米管的结构特点，建立了新的梁模型，分析了这些非理论因素对其振动特性的影响。

碳纳米管具有高刚度、低密度的特点，使其拥有高品质的振动特性，以此为基础的质量感应器，其原理就是根据共振频率的偏移来检测附加物质的质量。实验发现悬臂梁形式的多壁碳纳米管可以检测出几十飞克 (10^-15g) 的小颗粒物质（P. Poncharal et al, Science, 1999）。同时实验结果表明生产过程中的点缺陷和体缺陷对纳米管的振动特性有很大的影响 （R.P. Gao et al, Phys. Rev. Lett., 2000），另外管中的残留物（催化剂等）也会引起共振频率的变化，这些因素也将影响感应器的检测灵敏度。

考虑到纳米管很大的长径比，研究初期常采用梁理论来讨论其结构特性。纳米管的弯曲刚度就是由实验测得的共振频率或者力位移曲线，然后根据线性梁理论得出的。但是在某些情况下，线性梁理论不能适用。一端固定的纳米管振动时，弯曲一侧会出现起皱现象（首先出现在靠近固定端的部分），从而大大降低共振频率。刘哲等（Z. Liu et al, Phys. Rev. B, 2003）利用双线性梁模型很好的说明了实验中发现的现象－随着纳米管半径的增加（起皱部分长度的增加），其等效弯曲刚度急速降低。另外，生产过程中可能产生的体缺陷和未除净的残留颗粒物质，将引起纳米管刚度和密度的重新分配，在缺陷处有突变。根据这类管的结构特点，我们对线性梁模型做了修改，用来分析这些非理想因素对振动特性的影响。

首先我们采用薄膜－扭簧模型（M. Wang et al, Phys. Rev. B, 2005）分析了不同长径比的单壁管，得到当其自由端附加不同质量时的基频，发现长径比大于5的管的基频变化曲线和梁理论的结果非常吻合。此结果有力地说明了采用梁分析纳米管的低阶共振频率是可行的。接着我们建立了用扭簧连接的梁模型（如图1a）和中间带有点质量的梁模型（如图1b），分别用来模拟体缺陷和颗粒残留物引起的刚度和密度的突变。分析结果表明管的基频变化对体缺陷在管上的位置非常地敏感，由图2可见：缺陷越靠近固定端一侧，其频率降低越明显。众所周知碳纳米管非常的小，对其实现固支条件非常困难，不理想的固定端可能会有一定的转动自由度（类似与体缺陷），由上述结果可知这将对共振频率造成不可忽略的影响。当管中有颗粒状残留物时，它们在管上的不同位置，对前两阶共振频率有不同的影响趋势，如图3，从而引起前两阶频率比（f1/f2）的变化，这一结果与实验相符，并有助于确定残留颗粒物质的位置。当这类纳米管用于质量检测时，只需改变模型的自由端（检测端）条件，增加考虑被检测物质带来的影响。实际生产过程中，可能会产生带有多个体缺陷或者多处残留颗粒物质的纳米管，相关的模型可以通过类似的方法建立，但模型的复杂度会相应增加。另外一种解决方法就是先得到纳米管的等效弯曲刚度，然后用带有等效刚度的线性梁理论来检测物质。通过与上述模型的结果比较，可知只有当缺陷的局部化影响在一定范围内时，等效刚度线性梁理论是可行的。

图1 (a)扭簧连接的梁模型，模拟体缺陷引起的刚度突变；(b) 附加点质量的梁模型，模拟颗粒残留物引起的密度突变

图2 纳米管基频随体缺陷在管上的相对位置(a / l)及缺陷等效刚度比（η）的变化曲线

图3 纳米管共振频率随附加物质在管上的相对位置(a / l)的变化曲线